Экология и безопасность жизнедеятельности стр.105

Экология и безопасность жизнедеятельности стр.105

                    ( 11.12)

               ( 11.13)

              ( 11.14)

Из теории вероятностей хорошо известно, что

               ( 11.15)

Кроме того, очевидно, что задача g(x)>max эквивалентна задаче (-g(x))> min; также очевидно, что условия (11.13) и (11.14) определяют определенный полиэдр Р (рис. 11.6). Следовательно, вводя целевую функцию   получаем следующую оптимизационную задачу:

, (11.16)

 где Р– полиэдр, заданный неравенствами (11.13) и (11.14).

 

 

 

Так как   причем ,   то  функция f(t) выпуклая и мы имеем задачу выпуклого программирования. Общие методы решения таких задач довольно сложны, однако в нашем конкретном случае можно предложить наглядное геометрическое решение.

Действительно, имеем <0. Значит, функция f(t) убывает по любому переменному ti, i = 1, 2,...,n,

и ее наименьшее значение достигается на гиперплоскости t1 + t2 +…+ tn = T (вслучае двух переменных это прямая АВ на рис. 11.6). Однако в отличие от задач линейного программирования это наименьшее значение достигается необязательно в вершинах А, В и т.д., в чем можно убедиться, исследуя на АВ функцию f(t) в случае двух переменных. Тогда f(t1,t2)= Минимум этой функции может достигаться и внутри отрезка [0, T] в зависимости от соотношения параметров р1, р2, ?1, ?2, в чем можно убедиться непосредственным исследованием функции одного переменного (например, если   то минимум достигается в середине Е отрезка АВ).

 

11.3. Игровые модели

 

Часто возникают ситуации, в которых различные участники имеют не совпадающие между собой интересы. Математические модели и методы для исследования таких так называемых конфликтных ситуаций получили название теории игр [18].

Приведем простейшие понятия и результаты этой теории. Под словом «игра» понимается совокупность правил, руководствуясь которыми игроки-участники принимают решения. Предположим, что результатом игры является плата, которую в соответствии с правилами проигравший участник платит выигравшим. Для простоты ограничимся сначала так называемыми «играми двух лиц с нулевой суммой». Для того чтобы полностью определить такую игру, нужно задать таблицу платежей – платежную матрицу, например, следующую матрицу размера 3х4:

 

Эта запись означает, что игрок А выбирает одну из строк этой матрицы, а игрок В, не зная выбора А, выбирает один из столбцов матрицы. Число на пересечении выбранных строки и столбца определяет выигрыш первого игрока (соответственно проигрыш второго). Например, если А выбрал вторую строку, а В – третий столбец, то А выиграл 5 единиц, а В их проиграл. Если же А выбрал третью строку, а В – второй столбец, то А проиграл 2 единицы, а В их выиграл.

Будем считать, что цель каждого из игроков состоит в максимизации наименьшего возможного выигрыша (соответственно минимизации наибольшего возможного проигрыша). Основной вопрос, возникающий в теории игр: существует ли наилучший способ игры у каждого из игроков, т. е. имеются ли у них оптимальные стратегии.


⇐ Предыдущая страница| |Следующая страница ⇒